선형 보간법, 쌍선형 보간법 (Linear Interpolation, Bilinear Interpolation)

선형 보간법(Linear Interpolation) 에 대해 간단히 정리합니다.

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보간법이란 어떤 데이터에 나타나있지 않은 부분을 그 데이터들을 이용해 추정하는 방법을 말합니다. 컴퓨터 비전을 비롯해 수학과 CS의 다양한 분야에서 활용되고 있습니다.

선형 보간법

선형 보간법(Linear Interpolation) 은 수직선 상에서 두 점 사이의 임의의 점의 함숫값을 구하는 방법입니다. 수식적으로는 아래와 같이 정의됩니다. 수직선 상의 두 지점 $x_1,x_2$에 대한 함숫값이 $f(x_1),f(x_2)$일 때, $x_1$과 $x_2$ 사이에 위치하는 임의의 점 $x$에 대한 함숫값 $f(x)$는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$f(x)=\frac{|x-x_2|}{|x-x_1|+|x-x_2|}f(x_1)+\frac{|x-x_1|}{|x-x_1|+|x-x_2|}f(x_2)$$

실제 데이터를 임의로 만들어서 테스트해보겠습니다.

수직선 상에서 함숫값 $f(1)=3,f(9)=27$일 때, $f(6)$의 값을 선형 보간법을 이용해서 구해 봅시다. 주어진 값들을 식에 그대로 대입하면 $f(6)$의 값을 구할 수 있습니다. 수직선 상의 점의 위치와 대응하는 함숫값만 알아도 가능합니다.

$$f(6)=\frac{|6-9|}{|6-1|+|6-9|}f(1)+\frac{|6-1|}{|6-1|+|6-9|}f(9)$$ $$=\frac{3\times 3}{8}+\frac{5\times 27}{8}=18$$

정확히 값을 알아내는 것을 볼 수 있습니다. 이 함수는 $f(x)=3x$ 입니다. 생각해보면 그냥 수직선 상의 내분점을 구하는 작업과 동일합니다.

쌍선형 보간법

쌍선형 보간법(Bilinear Interpolation) 은 2차원 데이터에 적용하는 방법으로, 1차원 선상의 선형 보간법을 기본으로 합니다.

점 $\text{A, B, C, D}$ 사이의 쌍선형 보간 $\text{R}$을 구하는 과정은 다음과 같습니다.

1. 점 $\text{A}$와 $\text{B}$ 사이의 선형 보간 $\text{m}$을 구한다.
2. 점 $\text{C}$와 $\text{D}$ 사이의 선형 보간 $\text{n}$을 구한다.
3. $\text{m}$과 $\text{n}$ 사이의 선형 보간 $\text{R}$을 구한다.

방향을 90도 돌려도 결과는 같습니다.

1. 점 $\text{A}$와 $\text{D}$ 사이의 선형 보간 $\text{p}$를 구한다.
2. 점 $\text{B}$와 $\text{C}$ 사이의 선형 보간 $\text{q}$를 구한다.
3. $\text{p}$와 $\text{q}$ 사이의 선형 보간 $\text{R}$을 구한다.

실제로 선형 보간법은 임의 위치의 데이터를 추정할 때 많이 쓰입니다. 제가 쌍선형 보간이 사용되는 모습을 보았던 첫 논문이 FCN 이었습니다.