선형 보간법(Linear Interpolation) 에 대해 간단히 정리합니다.
보간법이란 어떤 데이터에 나타나있지 않은 부분을 그 데이터들을 이용해 추정하는 방법을 말합니다. 컴퓨터 비전을 비롯해 수학과 CS의 다양한 분야에서 활용되고 있습니다.
선형 보간법
선형 보간법(Linear Interpolation) 은 수직선 상에서 두 점 사이의 임의의 점의 함숫값을 구하는 방법입니다. 수식적으로는 아래와 같이 정의됩니다. 수직선 상의 두 지점 \(x_1, \ x_2\)에 대한 함숫값이 \(f(x_1), \ f(x_2)\)일 때, \(x_1\)과 \(x_2\) 사이에 위치하는 임의의 점 \(x\)에 대한 함숫값 \(f(x)\)는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
\[f(x) = \frac{\vert x - x_2 \vert}{\vert x - x_1 \vert + \vert x - x_2 \vert} f(x_1) \ + \ \frac{\vert x - x_1 \vert}{\vert x - x_1 \vert + \vert x - x_2 \vert} f(x_2)\]실제 데이터를 임의로 만들어서 테스트해보겠습니다.
수직선 상에서 함숫값 \(f(1) = 3, \ f(9) = 27\)일 때, \(f(6)\)의 값을 선형 보간법을 이용해서 구해 봅시다. 주어진 값들을 식에 그대로 대입하면 \(f(6)\)의 값을 구할 수 있습니다. 수직선 상의 점의 위치와 대응하는 함숫값만 알아도 가능합니다.
\[f(6) = \frac{\vert 6 - 9 \vert}{\vert 6 - 1 \vert + \vert 6 - 9 \vert} f(1) \ + \ \frac{\vert 6 - 1 \vert}{\vert 6 - 1 \vert + \vert 6 - 9 \vert} f(9)\] \[= \frac{3 \times 3}{8} + \frac{5 \times 27}{8} = 18\]정확히 값을 알아내는 것을 볼 수 있습니다. 이 함수는 \(f(x) = 3x\) 입니다. 생각해보면 그냥 수직선 상의 내분점을 구하는 작업과 동일합니다.
쌍선형 보간법
쌍선형 보간법(Bilinear Interpolation) 은 2차원 데이터에 적용하는 방법으로, 1차원 선상의 선형 보간법을 기본으로 합니다.
점 \(\text{A, B, C, D}\) 사이의 쌍선형 보간 \(\text{R}\)을 구하는 과정은 다음과 같습니다.
- 점 \(\text{A}\)와 \(\text{B}\) 사이의 선형 보간 \(\text{m}\)을 구한다.
- 점 \(\text{C}\)와 \(\text{D}\) 사이의 선형 보간 \(\text{n}\)을 구한다.
- \(\text{m}\)과 \(\text{n}\) 사이의 선형 보간 \(\text{R}\)을 구한다.
방향을 90도 돌려도 결과는 같습니다.
- 점 \(\text{A}\)와 \(\text{D}\) 사이의 선형 보간 \(\text{p}\)를 구한다.
- 점 \(\text{B}\)와 \(\text{C}\) 사이의 선형 보간 \(\text{q}\)를 구한다.
- \(\text{p}\)와 \(\text{q}\) 사이의 선형 보간 \(\text{R}\)을 구한다.
실제로 선형 보간법은 임의 위치의 데이터를 추정할 때 많이 쓰입니다. 제가 쌍선형 보간이 사용되는 모습을 보았던 첫 논문이 FCN 이었습니다.